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Karl-Heinz Schweikert   

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Stand: 14. Mai 2009

 

Teleskop-Ausrichtung

Der folgende Text behandelt einige Verfahren und die zugehörigen mathematischen Grundlagen zur Teleskopausrichtung. Dazu gehören:

Behandlung der idealen Montierung, d.h. rechtwinklige Achsen und korrekte Anzeige des Höhenwinkels,

aber nicht-ideale Orientierung (nicht waagrecht, nicht eingenordet, Längengrad, Breitengrad und Sternzeit unbekannt)

- 2-Star Alignment (Bestimmung charakteristischer Größen, welche die jeweilige Lage der Montierung beschreiben)

- Koordinatentransformationen mittels dieser charakteristischen Größen

- Berechnung der Bildfelddrehung

- Bewegungsgeschwindigkeiten in Azimut, Höhe und Bildfelddrehung

Behandlung der nicht-idealen Montierung

- Winkelfehler der Höhenachse

- Einbeziehung von mechanischen Fehlern (z.B. nicht exakt rechtwinklige Achsen)

- Messverfahren zur Bestimmung dieser Fehler

Weitere Verfahren

- Alignment ohne Kenntnis der Referenzsterne ( mehrere Varianten)

- Parallaktisches Alignment (Alternative/Ergänzung zum Scheinern für Objekte außerhalb der N/S/O/W Hauptrichtungen)  

"Das Original"

- Das Scheinerverfahren (sehr guter Übersichtsartikel, mit freundlicher Genehmigung übernommen von Roger Leifert)

Begriffs-Definitionen

Wir stellen unser Teleskop azimutal auf, die Verlängerung der (senkrechten) Azimutal -Achse ist dann der Zenit Z. Die Teilkreise zeigen Azimut und Höhe an.

Falls das Teleskop beliebig schief steht, stimmen die nachfolgenden Rechnungen trotzdem exakt, nur der so bezeichnete 'Zenit' ist dann ein 'Pseudo-Zenit' und steht nicht mehr senkrecht über uns, sondern in der Verlängerung der Azimutal -Achse. Ebenso bedeuten dann die Begriffe 'Azimutwinkel' und 'Höhenwinkel' einfach die abgelesenen Winkel des Azimut- und Höhen-Teilkreises, egal wie schief das Ganze steht.

Ich werde die Begriffe trotzdem verwenden, da man sich die Zusammenhänge so leichter vorstellen kann.

 

2-Star Alignment

Das Ziel des Alignments ist es, geeignete Kenngrößen für die aktuelle Stellung der Teleskopmontierung zu bestimmen (nennen wir sie mal b, s0, g0), mit deren Hilfe die Umrechnung zwischen parallaktischem System und den Teilkreis-Koordinaten einfach durchzuführen ist. Quasi als 'Abfallprodukt' kann daraus auch noch die Bildfeld-Rotation bestimmt werden.

Hinweis für Experten: g0, b und s0 entsprechen den Eulerwinkeln.

 

Wir führen 2 Gruppen mit je 2 Polar-Koordinatensystemen ein. Dazu wird zunächst eine Ebene E definiert, die durch die zum Zenit zeigende Achse des Teleskops Z_ und den Himmelspol P_ aufgespannt wird (die Bezeichnung *_ soll einen Vektor darstellen). Später werden wir noch zwei Referenz -Sterne S1_ und S2_ verwenden. Z_, P_, S1_ und S2_ sind Vektoren mit Länge 1.

 

Parallaktische Gruppe, die Polarkoordinaten-Achse zeigt zum Pol:

System 1 bezieht sich auf die Himmelskoordinaten r =RA-t, d=90°-Dec. Dabei ist  t die Sternzeit (manche rechnen statt RA-t auch t-RA) und d ist vom Pol aus gezählt, wie in Polarkoordinatensystemen üblich.

System 2 zählt den Stundenwinkel s von der Ebene E aus mit s = r-s0. (Dec-Winkel d ist identisch zu System 1)

 

Azimutale Gruppe, die Polarkoordinaten-Achse zeigt zum (Pseudo-)Zenit:

System 3 beschreibt den Azimutwinkel g von der Ebene E aus gezählt, und den Höhenwinkel h vom Zenit aus gezählt.

System 4: der Azimut ist der vom (willkürlich eingestellten) Azimut-Teilkreis abgelesene Winkel a, die Höhe der vom Höhen-Teilkreis abgelesene Winkel (vom Horizont aus gezählt). Damit gilt g = a-g0 und h = 90°-Höhe.

 

Die einzig bekannten Größen sind die von System 1 (RA, Dec, Sternzeit) und die von System 4 (abgelesene Größen Azimut und Höhe), s0 und g0 sind zunächst unbekannt.

Letztendlich zu bestimmen sind:

- der Winkel b zwischen Pol und (Pseudo-)Zenit

- die Winkel s0 und g0.

Diese Größen sind von der Orientierung des Teleskops abhängig. Um die folgenden Rechnungen halbwegs einfach zu halten, gehe ich hier davon aus, dass Azimut- und Höhenachse des Teleskops exakt senkrecht aufeinander stehen.

 

Die einzelnen Systeme lassen sich in einander überführen:

System 1<->2: Drehung mit s0 plus dem aktuellen Sternzeitwinkel um die Polachse

System 2<->3: Kippung mit b um eine Achse, die senkrecht auf dem Pol- und Zenitvektor steht

System 3<->4: Drehung mit g0 um die Zenitachse

 

----- System 1--------------------------------------------

Zum Alignment werden Referenz-Sterne S1_ und S2_ verwendet mit RA1 und Dec1 bei Sternzeit t1, RA2 und Dec2 bei evtl. einer anderen Sternzeit t2 (die Ablesung für die beiden Referenzsterne findet ja nicht gleichzeitig statt). 

Das Ganze ausgedrückt in kartesischen Koordinaten (u, v, w) auf der Einheitskugel in System 1 ergibt sich mit d=90°-Dec, r =RA-t:

 

Pol          = [ 0, 0, 1]
Stern 1: S1_ = [u1,v1,w1] = [sin(d1)*cos(r1), sin(d1)*sin(r1), cos(d1)]
Stern 2: S2_ = [u2,v2,w2] = [sin(d2)*cos(r2), sin(d2)*sin(r2), cos(d2)]

 

um den Raum aufspannen zu können, brauchen wir noch eine dritte unabhängige Richtung, die z.B. durch das Vektorprodukt der Sternvektoren gebildet werden kann. Damit haben wir eine Richtung S3_, die senkrecht auf S1_ und S2_ steht:

 

S3_ = [u3,v3,w3] = S1_ x S2_ = [v1*w2-w1*v2, w1*u2-u1*w2, u1*v2-v1*u2]
 

Jetzt wird der Pol in parallaktischen Koordinaten (0,0,1) mit Hilfe der 3 den Raum aufspannenden Vektoren S1_, S2_ und S3_ und den noch zu bestimmenden Koeffizienten m1, m2, m3 ausgedrückt:

 

P_ = [0,0,1] = m1*S1_ + m2*S2_ + m3*S3_

 

Durch Auflösen dieses Gleichungssystems folgt:

m1 = (u2*v3-v2*u3)/(u3^2+v3^2+w3^2)
m2 = (v1*u3-u1*v3)/(u3^2+v3^2+w3^2)
m3 = (u1*v2-v1*u2)/(u3^2+v3^2+w3^2) = w3/(u3^2+v3^2+w3^2)

 

----- System 4 ---------------------------------------------

In System 4, dessen Größen aus der Ablesung der Teilkreiskoordinaten kommen, lauten die Größen mit

a =Anzeige des Azimut-Teilkreises, h =90°-Anzeige des Höhen-Teilkreises (statt u, v, w verwenden wir hier die Koordinaten x, y, z):

 

Z_ = [ 0 ,0, 1]       (Pseudo-Zenit)
S1_= [x1,y1,z1] = [sin(h1)cos(a1), sin(h1)*sin(a1), cos(h1)]
S2_= [x2,y2,z2] = [sin(h2)cos(a2), sin(h2)*sin(a2), cos(h2)]

 

und die dritte Richtung senkrecht auf Sx und Sy:

 

S3_= [x3,y3,z3] = [y1*z2-z1*y2, z1*x2-x1*z2, x1*y2-y1*x2]

 

Der jetzt azimutal ausgedrückte Pol ergibt sich auch in System 4 genau so aus der Zusammensetzung der 3 Vektoren S1_,S2_,S3_ mit den gleichen bereits berechneten Koeffizienten m1, m2, m3:

 

P_ = m1*S1_ + m2*S2_ + m3*S3_

 

Jetzt bestimmen wir den Winkel b zwischen Pol und (Pseudo-)Zenit und den Offset g0 der Azimutwinkel zwischen System 3 und System 4 aus der Projektion des Pols (falls das Teleskop tatsächlich exakt waagrecht aufgestellt sein sollte, kommt natürlich b = 90°-Breitengrad heraus):

Der Pol P_ in azimutalen Koordinaten (System 4) hat die Winkelkoordinaten g0 (Azimut) und b (90°-Polhöhe). Wie oben in System 1 gilt auch hier für P_:

 

x= sin(b)*cos(g0) = m1*x1 + m2*x2 + m3*x3
y= sin(b)*sin(g0) = m1*y1 + m2*y2 + m3*y3
z= cos(b)         = m1*z1 + m2*z2 + m3*z3

 

und daraus die gesuchten Größen aus z und y/x

 

b  = acos(m1*z1 + m2*z2 + m3*z3)
g0 = atan( (m1*y1 + m2*y2 + m3*y3)/(m1*x1 + m2*x2 + m3*x3) )

 

Indem entsprechend obiger Rechnung statt der Pol jetzt der Zenit

 

[0,0,1] = m4*S1_ + m5*S2_ + m6*S3_

 

verwendet wird, ergibt sich nach Auflösung des Gleichungssystems:

 

m4 = (x2*y3-y2*x3)/(x3^2+y3^2+z3^2)
m5 = (y1*x3-x1*y3)/(x3^2+y3^2+z3^2)
m6 = (x1*y2-y1*x2)/(x3^2+y3^2+z3^2) = z3/(x3^2+y3^2+z3^2)

 

Jetzt wieder zurück zu…

 

----- System 1 -----

Der Zenit in parallaktischen Koordinaten (System 1) hat die Koordinaten 180°+s0 und b, damit:

 

u= sin(b)*cos(s0) = m4*u1 + m5*u2 + m6*u3
v= sin(b)*sin(s0) = m4*v1 + m5*v2 + m6*v3
w= cos(b)         = m4*w1 + m5*w2 + m6*w3

 

    damit aus v/u

 

s0 = 180 + atan( (m4*v1 + m5*v2 + m6*v3)/(ma4*u1 + m5*u2 + m6*u3) )

 

Damit sind alle für eine Transformation erforderlichen Größen b, s0 und g0 berechnet.

 

Das Ganze nochmal als 'Kochrezept':

Bekannt sind RA, Dec, Azimut a und Höhe h von 2 Referenzsternen zum Sternzeitwinkel t.

Berechne r1=RA1-t1, d1=90°-Dec1, ebenso r2=RA2-t2, d2=90°-Dec2
Berechne u1=sin(d1)*cos(r1), v1=sin(d1)*sin(r1), w1=cos(d1), entsprechend u2,v2,w2
Berechne u3=v1*w2-v2*w1, v3=w1*u2-w2*u1, w3=u1*v2-u2*v1
Berechne x1=sin(h1)*cos(a1), y1=sin(h1)*sin(a1), z1=cos(h1), entsprechend x2,y2,z2
Berechne x3=y1*z2-y2*z1, y3=z1*x2-z2*x1, z3=x1*y2-x2*y1
Berechne m1,m2,m3,m4,m5,m6
Berechne b, s0, g0
fertig.

 

Noch ein Hinweis für Programmierer:

Der mathematische Arcustangens hat mehrdeutige Lösungen für das selbe Argument, so ist z.B. Arctan(1.0) =45° oder =225°. Die Arctan-Funktion in einer Programmiersprache liefert hingegen nur den Hauptwert zwischen -pi/2 und +pi/2 zurück (wobei für +/-pi/2 das Argument auch noch unendlich wird!). Hier wird aber der volle 2pi=360°-Bereich benötigt, weshalb Fallunterscheidungen für die einzelnen Quadranten des Einheitskreises gemacht werden müssen. 

Viele Programmiersprachen haben hierfür eine extra Funktion Arctan2(x,y), atan2(x,y) oder ähnlich, manchmal auch definiert mit vertauschten Argumenten (y,x). Hierbei werden die Werte für Ankathete (=x) und Gegenkathete (=y) separat angegeben, so dass mit deren Vorzeichen der Quadrant eindeutig definiert ist und das Resultat im Bereich (0...2pi) oder( -pi...+pi) liegt. Zudem ist das Problem beseitigt, dass für +/-pi/2 bei y/x eine Division durch Null auftritt. 

"Ganz zufällig" sind in meiner Herleitung die atan()-Terme immer in der Form atan(Zähler / Nenner) angegeben, so dass die Umsetzung in atan2(Nenner, Zähler) einfach ist.

 

 

 

Transformationen

Hierzu müssen die Größen b, s0 und g0 aus einem vorherigen 2-star Alignment berechnet sein.

Diese Größen beschreiben die Abweichungen von einer ideal orientierten Montierung, für die gilt:

  b  = 90°-Breitengrad (die Montierung steht exakt waagrecht)
  g0 = 0               (die Montierung ist exakt eingenordet)
  s0 = 0               (s ist der korrekte Stundenwinkel)

 

 

RA und Dec eines Sterns S_=[x,y,z]=[u,v,w] beim Sternzeitwinkel t aus Azimut und Höhe

(Azimut und Höhe sind von den Teilkreisen abgelesene Größen, die damit auf die Teleskop-Orientierung bezogen sind, nicht auf den Horizont! )

 

System 4->3:

  g = Azimut-g0,
  h = 90°-Höhe

 

System 3->2: Dazu drücken wir die Koordinaten des Sterns in kartesischen Koordinaten aus:

  S_ = [sin(h)*cos(g), sin(h)*sin(g), cos(h)]
                 ... und drehen um y mit dem Winkel b ins System 2:        
  S_ = [cos(b)*sin(h)*cos(g)-sin(b)*cos(h), sin(h)*sin(g), cos(b)*cos(h)+sin(b)*sin(h)*cos(g)]
     = [u,v,w]
     = [sin(d)*cos(s), sin(d)*sin(s), cos(d)]

             daraus aus z bzw aus y/x:     

  d = acos( cos(b)*cos(h)+sin(b)*sin(h)*cos(g) )
  s = atan( sin(h)*sin(g) / (cos(b)*sin(h)*cos(g)-sin(b)*cos(h)) )

 

System 2->1:

  Dec = 90°-d,
  RA  = s+s0+t

 

 

Bildfeld-Drehung

In System 2 lässt sich außerdem bequem die Bildfelddrehung f bestimmen. Der feste Bezugspunkt am Teleskop (das auf den Stern S_ ausgerichtet sein soll) von der optischen Achse aus gesehen ist die Azimutachse Z_; der zweite feste Bezugspunkt am Himmel ist die Richtung zum Pol P_. Der Bildfeld-Winkel ist dann der Winkel, den die Projektionen von Z_ und P_ auf eine Ebene senkrecht zur optischen Achse (=S_) einschließen.

 

In einem parallaktischen Koordinatensystem gilt für Pol, Zenit und Stern

  P_=[0,0,1]
  Z_=[-sin(b),0,cos(b)]
  S_=[sin(d)*cos(s), sin(d)*sin(s), cos(d)].

 

Jetzt führen wir eine Drehung um die w-Achse um den Betrag -s aus:

  P_=[0,0,1]
  Z_=[-sin(b)*cos(s), sin(b)*sin(s), cos(b)]
  S_=[sin(d), 0, cos(d)]

 

Dann eine zweite Drehung um die v-Achse um den Betrag -d:

  P_=[-sin(d),0,cos(d)]
  Z_=[-sin(b)*cos(s)*cos(d)-cos(b)*sin(d), sin(b)*sin(s), …]
  S_=[0,0,1]

 

Durch die beiden Drehungen haben wir das Koordinatensystem so hingebogen, dass der Stern genau in w-Richtung steht. Der Winkel zwischen den Projektionen von P_ und Z_ auf die u, v Ebene stellt nun den relativen Winkel des Bildfelds dar. Die Projektion ergibt sich durch Nullsetzen der w-Komponenten (deshalb habe ich mir bei Z_ die Berechnung erspart und nur durch '...' angedeutet). Man sieht, dass der Pol im gedrehten Koordinatensystem immer konstant bei 180° liegt (weil u =-sin(d), v=0), somit ist der Winkel der Bildfelddrehung

 

  f = 180° - atan( sin(b)*sin(s) / (-sin(b)*cos(s)*cos(d)-cos(b)*sin(d)) )

 

Beispiel: Rotationswinkel

Abb.: Bildfeld-Drehwinkel für verschiedene Dec-Werte. 

Für Dec-Winkel, bei denen das Teleskop die Zenitstellung überfährt (bei Dec =90°±Breite) divergieren die Rotationswinkel - in kurzer Zeit muss hier ein großer Azimut- und Bildfeldwinkel durchfahren werden. Dieser Wert markiert auch die Grenze, bei der das Bildfeld innerhalb eines Sterntags eine volle 360° Drehung vollführt (bei Dec<42° und Dec>138°) oder wieder zur Ausgangsstellung zurückkehrt (für 42°<Dec<138°)

 

 

Azimut und Höhe aus RA, Dec, und Sternzeit:

(Auch hier wieder Azimut und Höhe von den Teilkreisen abgelesene Größen!)

geht im Prinzip genau so in der Reihenfolge (1->2->3->4)

 

System 1->2:

  d = 90°-Dec,
  s = RA-s0-t

 

  aus b, d, und s kann hier wieder die relative Bildfelddrehung bestimmt werden:

  f = 180° - atan( sin(b)*sin(s) / (-sin(b)*cos(s)*cos(d)-cos(b)*sin(d)) )

 

System 2->3:

  h = acos( cos(b)*cos(d)-sin(b)*sin(d)*cos(s) )
  g = atan( sin(d)*sin(s) / (cos(b)*sin(d)*cos(s)+sin(b)*cos(d)) )

 

System 3->4:

  Azimut = g+g0
  Höhe   = 90°-h

 

 

Bewegungsgeschwindigkeiten

Die Bewegungsgeschwindigkeiten in Alt-, Az- und Bildfelddreh-Achse ergeben sich aus den Positionsformeln durch Ableitung nach der Zeit (d/dt).

Mit s als einziger zeitabhängiger Größe und

   d(atan(Z/N))/dt = (N*dZ/dt - Z*dN/dt)/(N2+Z2)
   d(acos(x)/dt    = x/sqrt(1-x2)

und der Umrechnung ins azimutale System durch Einsetzen der weiter oben abgeleiteten Beziehungen

  cos(d)        = cos(b)*cos(h)+sin(b)*sin(h)*cos(g)
  sin(d)*cos(s) = cos(b)*sin(h)*cos(g)-sin(b)*cos(h)
  sin(d)*sin(s) = sin(h)*sin(g)

folgt:

 

  dg/dt =  W * (cos(b)*sin(h)-sin(b)*cos(h)*cos(g))/sin(h)
  dh/dt = -W * sin(b)*sin(g)
  df/dt =  W * sin(b)*cos(g)/sin(h)

 

Diese Formeln gelten mit den früher angegebenen Größen b, g, h auch für ein beliebig schief aufgestelltes Teleskop. 

 

Bei exakt waagrechter Aufstellung und Skalen mit korrektem Nullpunkt gilt mit b=90°-Breitengrad, g=Azimutwinkel (Az), h=90°-Höhenwinkel und unter Verwendung der Beziehungen sin(x)=cos(90°-x); cos(x)=sin(90°-x):

 

  d(Azimut)/dt   = v.Az  = W* (sin(Breitengrad)*cos(Höhe)-cos(Breitengrad)*sin(Höhe)*cos(Az))/cos(Höhe)
  d(Höhe)/dt     = v.Alt = W* cos(Breitengrad)*sin(Az)
  d(Bildfeld)/dt = v.BF  = W* cos(Breitengrad)*cos(Az)/cos(Höhe)

 

W ist hierbei die Winkelgeschwindigkeit der Erddrehung, je nach verwendeten Maßeinheiten ergeben sich die Achsengeschwindigkeiten z.B. in Radiant/Sterntag oder in Bogensekunden/Zeitsekunde

 

Angabe in Rad/Sterntag für  W = 2*pi/1Sterntag
Angabe in "/sec für         W = 360° *3600["/°] / 86164.091s = 15.041"/s

 

Für das Geschwindigkeitsverhalten gibt es 2 ausgezeichnete Positionen:

- Bei Höhe=Breitengrad und Az=0 wird v.Az=0 und damit auch v.Alt=0, das Teleskop zeigt dann genau auf den Pol. Hier ist v.BF = W.

- Bei Höhe=90° geht der Nenner bei Azimut und Bildfeld ->0, das Teleskop zeigt zum Zenit und es ergibt sich eine unendlich hohe Geschwindigkeit

 

 

 

Bestimmung und Korrektur des Höhenskala-Fehlers

Da das Gleichungssystem beim 2-Star-Alignment überbestimmt ist (4 Größen gemessen, nur 3 daraus bestimmt), kann eine weitere Größe abgeleitet werden, z.B. die Abweichung der Höhenskala vom korrekten Wert 90°, der bei Parallelstellung der Teleskopachse und der Azimutachse angezeigt werden sollte.

 

Diese Abweichung h0 wird aus dem Winkel phi (bzw. dessen Cosinus) zwischen den Referenzsternen abgeleitet, der einerseits aus RA, Sternzeit und Deklination, andererseits auch aus den gemessenen Azimut und Höhenwinkeln a bzw. h bestimmt werden kann. Die gemessenen Höhenwinkel H weichen allerdings vom richtigen Wert h um den zunächst noch unbekannten Fehlerwinkel h0 ab.

Mit r = RA-t, d = 90°-Dec, a=Azimut, h = (H+h0) = 90°-Höhe (h ist der unbekannte fehlerfreie Höhenwinkel) gilt:

 

  cos(phi) = S1_*S2_ = sin(d1)*sin(d2) * (cos(r1)*cos(r2)+sin(r1)*sin(r2)) + cos(d1)*cos(d2)
           =     sin(H1+h0)*sin(H2+h0) * (cos(a1)*cos(a2)+sin(a1)*sin(a2)) + cos(H1+h0)*cos(H2+h0)

 

Mit den Beziehungen sin(H+h0) = sin(H)*cos(h0)+cos(H)*sin(h0) und cos(H+h0) = cos(H)*cos(h0)-sin(H)*sin(h0)

und den Abkürzungen

  A = cos(a1)*cos(a2)+sin(a1)*sin(a2) 
  C = cos(phi) = sin(d1)*sin(d2)*(cos(r1)*cos(r2)+sin(r1)*sin(r2)) + cos(d1)*cos(d2)

 

ergibt sich eine Beziehung für den gesuchten Wert h0:

  C = (sin(H1)*cos(h0)+cos(H1)*sin(H0))*(sin(H2)*cos(H0)+cos(H2)*sin(H0))*A +
      (cos(H1)*cos(h0)-sin(H1)*sin(H0))*(cos(H2)*cos(H0)-sin(H2)*sin(H0))

 

Diese Gleichung ist nicht direkt lösbar, kann aber mit Hilfe eines Iterationsverfahrens geknackt werden.

Dazu werden die h0-Terme linearisiert, d.h.

  h0' = sin(h0), cos(h0) = 1, sin^2(h0) = 0, ...(Winkel im Bogenmaß)
 
  C ~ (sin(H1)*sin(H2) + h0'*(sin(H1)*cos(H1)+cos(H1)*sin(H2))*A + 
       cos(H1)*cos(H2) - h0'*(sin(H1)*cos(H1)+cos(H1)*sin(H2)).
 

Nach Auflösen ergibt sich die Bestimmungsgleichung für h0':

  h0' = (C -(sin(H1)*sin(H2)*A + cos(H1)*cos(H2)) / ((A-1)*(sin(H1)*cos(H1)+cos(H1)*sin(H2))

 

Dieser Wert h0' stellt eine erste (grobe) Näherung dar, aus der korrigierte Werte H1' und H2' gewonnen werden:

  H1' = H1+h0'
  H2' = H2+h0'.

 

Diese neuen Werte werden nun an Stelle von H1 bzw. H2 in die obige Bestimmungsgleichung für h0' eingesetzt und aus dem Ergebnis h0' eine weitere (noch bessere) Näherung  H1' und H2' ermittelt, die dann wieder in die h0' Gleichung eingesetzt werden ...usw.

Dieses Iterationsverfahren konvergiert extrem schnell, typischerweise wird bei einem Höhenfehler h0 = 10° schon nach 5 Iterationen die Abweichung von h0' vom richtigen Wert h0 weit unter 1 Bogensekunde liegen.

 

Mit Kenntnis von h0 können jetzt alle gemessenen Höhenwinkel H für weitere Rechnungen (z.B. 2-Star Alignment) korrigiert werden:

  h = H_corr = H_gemessen + h0

 

Es gibt allerdings Bereiche für die Referenzsterne, bei denen dieses Verfahren sehr ungenau wird oder sogar ganz versagt. Leicht einzusehen ist der Fall, wenn beide Referenzsterne etwa gleiche RA-Werte besitzen. Die berechnete Winkeldifferenz ist dann unabhängig von einem möglichen Höhenfehler immer korrekt und kann nicht für eine Korrektur herangezogen werden. Ein weiterer kritischer Fall ergibt sich, wenn beide Sterne nahe beieinander am Himmelsäquator stehen.

 

 

Kompensation mechanischer Fehler einer Montierung

 

Wir legen ein kartesisches Koordinatensystem [X,Y,Z] an ein azimutal aufgestelltes ideales Teleskop, so dass Y die Höhenachse, Z die Azimutachse bilden.

 

Mögliche Abweichungen vom idealen Teleskop:

1.) die Höhenskala zeigt nicht den Winkel 90.0° an, sondern ist um den Winkel h0 verdreht, wenn die optische Achse parallel zur Azimutachse ausgerichtet ist.

2.) Die optische Achse steht nicht exakt senkrecht auf der Höhenachse, sondern weicht um den Winkel q ab. Beim Drehen um die Höhenachse beschreibt die optische Achse einen stumpfen Kegel.

3.) Die Höhenachse steht nicht senkrecht auf der Azimutachse, sondern ist um den Winkel e (um die X-Achse) verkippt. Dieser Effekt tritt auch auf, wenn sich die Höhenachse unter dem Gewicht eines einseitig befestigten Teleskops durchbiegt (z.B. bei einer Giro-Montierung).

 

Ein ideales Teleskop soll auf die Position [sin(H), 0, cos(H)] zeigen (H ist der abgelesene Höhenwinkel vom Zenit aus gemessen). Jetzt werden nacheinander die beschriebenen mechanischen Fehler eingeführt und die tatsächliche Position am Himmel bestimmt, auf die dann die optische Achse zeigt. Dabei verschiebt sich evtl. auch der Azimutwinkel der optische Achse um a0. Dieser Wert muss später als Korrektur vorzeichenrichtig berücksichtigt werden.

 

Ideal:

  Position = [sin(H), 0, cos(H)]

1. Fehler: Um h0 verdrehte Höhenskala:

  Position = [sin(H-h0), 0, cos(H-h0)]

2. Fehler: Opt.Achse zu Höhenachse (um X-Achse) um Winkel q verkippt:

  Position = [sin(H-h0), sin(q), cos(q)* cos(H-h0)]

3. Fehler: Höhenachse zu Azimutachse um Winkel e verdreht (= Drehung um die X-Achse):

  Position = [sin(H-h0),
              cos(e)*sin(q)+sin(e)*cos(H-h0)*cos(q),
              cos(e)*cos(H-h0)*cos(q)-sin(e)*sin(q)]

 

Anschließend wird noch um den unbekannten Winkel a0 um die Azimutachse (Z) zurück gedreht:

  Position = [cos(a0)*sin(H-h0) + sin(a0)*(cos(e)*sin(q)+sin(e)*cos(H-h0)*cos(q)),
              cos(a0)*(cos(e)*sin(q)+sin(e)*cos(H-h0)*cos(q)) - sin(a0)* sin(H-h0),
              cos(e)*cos(H-h0)*cos(q) - sin(e)*sin(q)]

 

Auf diese Position würde ein ideales Teleskop mit eingestelltem Höhenwinkel h zeigen:

  Position = [sin(h), 0, cos(h)].

 

Durch Gleichsetzen der idealen und tatsächlichen Koordinaten ergeben sich die Beziehungen, aus denen bei bekanntem h0, e und q der abgelesene (H) bzw. tatsächliche (h) Höhenwinkel sowie die Azimutkorrektur a0 bestimmt werden können:

 

  H  = h0 + acos( (sin(e)*sin(q)+cos(h)) / (cos(e)*cos(q)) )    falls h bekannt und H gesucht
  h  = acos (cos(e)*cos(H-h0)*cos(q) - sin(e)*sin(q) )          falls H bekannt und h gesucht
  a0 = atan((cos(e)*sin(q)+sin(e)*cos(q)*cos(H-h0))/sin(H-h0))  +/-Korrektur des Azimutwinkels

 

Beim nicht-idealen Teleskop gibt es evtl. einen Bereich um den Zenit, der nie erreicht werden kann. Die Grenze h_min wird durch das Argument des acos() markiert, das nicht größer als 1 sein kann. Somit gilt:

 

  cos(h_min) = cos(e)*cos(q) - sin(e)*sin(q)

 

 

Bestimmung der Systemfehler-Größen

Die Größe der mechanischen Systemfehler des Teleskops h0, e und q können durch eine Eichmessung ermittelt werden. Diese Eichung muss neu durchgeführt werden, falls die gegenseitige Lage der Azimut-, Höhen- oder optischen Achse verändert oder die Höhenskala verstellt wurde.

 

Zur Eichung wird eine feststehende Position (z.B. Landmarke,...) zwei mal angepeilt, und zwar:

a) direkt (Skalen-Ablesung H, A)

b) mit umgeschlagenem Teleskop (d.h. Azimut um ca. 180° gedreht, Höhenwinkel nach der anderen Seite hin eingestellt; Skalen-Ablesung H', A').

 

Alternativ kann die Eichung auch an 2 Sternen vorgenommen werden:

a) direkt (Zeitpunkt ta)

b) mit umgeschlagenem Teleskop (Zeitpunkt tb)

c) wieder direkt (Zeitpunkt tc)

Die Winkel für die direkte Messung zur Zeit tb werden dann linear aus ta und tc interpoliert.

 

Aus den gemessenen Größen ergibt sich bei einer Höhenskala 90°…0°…90° unmittelbar (für Skala 90...0...-90 entsprechend umrechnen)

 

  a0 = (A-A'-180°)/2
  h0 = (H-H')/2

 

Die ganze Prozedur wird jetzt für eine 2. Position bei einer anderen Höhe H2 (möglichst weit entfernt von H) wiederholt, dabei ergibt sich eine andere Azimutdifferenz a02 (h0 ist identisch). Gut geeignet sind z.B. für die erste Messung eine entfernte horizontnahe Landmarke und für die zweite Messung der Polarstern.

 

Zur Berechnung von e und q wird die früher abgeleitete Beziehung für die Korrektur des Azimutwinkels a0=atan(...) umgeformt:

  sin(H-h0)*tan(a0) = cos(e)*sin(q) + sin(e)*cos(q)*cos(H-h0)

 

oder mit den Abkürzungen

  ST1 = sin(H -h0)*tan(a0 ), 
  ST2 = sin(H2-h0)*tan(a02), 
  C1  = cos(H -h0) 
  C2  = cos(H2-h0)

 

lauten die Gleichungen:

  ST1 = cos(e)*sin(q) + sin(e)*cos(q)*C1
  ST2 = cos(e)*sin(q) + sin(e)*cos(q)*C2

 

Dieses Gleichungssystem mit den aus den Eich-Messungen ermittelten Konstanten ST1, ST2, C1 und C2 wird im folgenden nach e und q aufgelöst.

 

Subtraktion und Multiplikation der Gleichungen mit 2 ergibt:

  2*(ST1-ST2) / (C1-C2)) = 2*sin(e)*cos(q) = sin(e+q) + sin(e-q)

 

ebenso nach Multiplikation mit C2 bzw. C1:

  2*(C1*ST2-C2*St1) / (C1-C2) = 2*cos(e)*sin(q) = sin(e+q) - sin(e-q)

 

Daraus

  e+q = asin( (ST1-ST2+ C1*ST2-C2*St1) / (C1-C2) )
  e-q = asin( (ST1-ST2- C1*ST2+C2*St1) / (C1-C2) )

 

und damit für die gesuchten Größen

 

  e = (asin((ST1-ST2+ C1*ST2-C2*St1) / (C1-C2)) + asin((ST1-ST2- C1*ST2+C2*St1) / (C1-C2)))/2
  q = (asin((ST1-ST2+ C1*ST2-C2*St1) / (C1-C2)) - asin((ST1-ST2- C1*ST2+C2*St1) / (C1-C2)))/2
 
  mit ST1 = sin(H -h0)*tan(a0 )
      ST2 = sin(H2-h0)*tan(a02)
       C1 = cos(H -h0)
       C2 = cos(H2-h0)

 

 

Weitere Fehlerursachen

Der Vollständigkeit halber muss hier erwähnt werden, dass die atmosphärische Refraktion eine bei hoher Genauigkeit nicht zu vernachlässigende Einflussgröße darstellt. Als Faustformel gibt F. Schmeidler im "Handbuch für Sternfreunde Bd.1" für den Wert der Refraktion an:

 

 Refraktion [Bogenminuten] = tan(Zenitdistanz),    mit  Zenitdistanz = 90°-Höhe

 

Für Objekte mit großer Zenitdistanz (>75°, d.h. in der Nähe des Horizonts) wird diese empirische Beziehung zunehmend ungenau. Dann kommen auch weitere Abhängigkeiten von Temperatur, Luftdruck und Lichtwellenlänge ins Spiel. 

 

 

2-Star Alignment mit gleichzeitiger Identifikation der Referenzsterne

 

Hierfür gibt es mehrere Varianten, die sich jeweils unterscheiden im Aufwand (z.B. Anzahl der Koordinaten-Messungen) und zumindest ungefähr bekannten Größen wie Sternzeit, Lage des Pols, justierte Höhenachse, usw.  Zudem spielen (zu erwartende) Kenntnisse und Erfahrungen des Bedieners eine große Rolle, z.B. ob er Referenzsterne, Standortkoordinaten, Sternzeit und Ähnliches selbst benennen kann, oder ob durch einen erhöhten technischen Aufwand diese Größen vom System bereitgestellt werden (integrierter Kompass, Funkzeitempfänger, bis hin zu GPS)

 

Variante 1

Merkmale

Wenige externe Größen müssen bekannt sein, viele Messvorgänge mit hoher Messgenauigkeit erforderlich

Voraussetzung:

Teleskop mit bekannter Winkelabweichung zwischen Az und Höhenachse.

Az und Höhenachse nicht justiert (beliebig falsch), Richtung der optischen Achse unbekannt.

 

Vorgehen:

1: Messe die Koordinaten irgend eines hellen Sterns im Bereich ca. 30...80° nördliche oder südliche Deklination (Zeit t1).

2: Messe den selben Stern mit umgeschlagenem Teleskop  (Zeit t2)

3: Messe einen zweiten Stern im Abstand ca. 60...120° vom ersten Stern  (Zeit t3)

4. Messe noch mal den ersten Stern (wie 1. = nicht umgeschlagen) (Zeit t4)

 

Daraus lässt sich bestimmen:

Position Stern 1 zu t2 und t3 interpoliert aus Messung 1+4.

aus 1, 2+4: Höhenkorrektur + Abweichung der opt. Achse.

aus 1+4: ungefähre Position des Pols, damit ungefährer Betrag der Deklination von Stern 1.

ungefährer Winkel (Pol / Stern1 / Stern2) und genauer Abstand Stern 1 - Stern 2, diese beiden Größen sind eindeutig für die weitaus meisten Sternpaare mit Helligkeit <=3.0 mag und abs(Dec) >30° und gegenseitigem Abstand 60...120°. Damit sind beide Sterne identifizierbar und deren RA und Dec bekannt.

Mit diesen Daten kann ein normales 2-Star Alignment durchgeführt werden (inklusive Korrektur der Systemfehler)

 

Wenn der 2. Stern zusätzlich 'umgeschlagen' gemessen wird, kann daraus auch noch die Winkeldifferenz zwischen Az und Höhenachse bestimmt werden. Hierzu sollten die beiden Referenzsterne stark unterschiedlich Höhenwinkel aufweisen.

Die Winkeldifferenz sollte sehr genau bestimmt werden, dabei ist auch eine Korrektur der atmosphärischen Lichtbrechung erforderlich.

 

Variante 2

Merkmale

Wenige Messvorgänge, einige externe Größen sind zumindest ungefähr bekannt, keine extrem hohe Messgenauigkeit erforderlich

Voraussetzung:

Teleskop mit vernachlässigbarer Winkelabweichung zwischen Azimutal-, Höhen- und optischer Achse, 

Nullstellung der Höhenachse kalibriert, ungefähr waagrechte Aufstellung, ungefähre lokale Sternzeit bekannt

 

Vorgehen:

1. Teleskop wird ungefähr auf den Pol ausgerichtet (z.B. mit Kompass und Höhenmesser bei bekanntem Breitengrad), 

    anschließend Pol-Höhe und Pol-Azimut ermittelt und als PH und PAz gespeichert.

2: Messe die Koordinaten (Höhe, Azimut, Messzeitpunkt) eines Referenzsterns 1

3: Messe die Koordinaten (Höhe, Azimut, Messzeitpunkt) eines Referenzsterns 2

Die Referenzsterne werden aus einer vorgegebene Liste mit z.B. 20...50 definierten markanten Sternen ausgewählt. Das müssen nicht unbedingt nur die hellsten Sterne sein. Beispielsweise ist der Polarstern ein sehr bekannter Stern, obwohl er von der Helligkeit nicht einmal unter den 50 hellsten Sternen rangiert.

 

Da alle Messgrößen mit Unsicherheiten behaftet sind, lässt sich nur eine wahrscheinlichkeitsbasierte Lösung ermitteln. Hierzu wird für alle passenden Referenzsternpaare S[i], S[j] eine "Qualitätsfunktion" berechnet, die alle Größen, mit einer 'geschätzten' Genauigkeit gewichtet, verknüpft: 

 

  Q(i,j) = sqrt((dDist/gDist)^2 + (dPH/gPH)^2 + (dPAz/gPA)^2 + (dSz/gSz)^2 + ...)

 

mit:

dDist = (gemessene Winkeldistanz - Distanz S[i]-S[j]  )

dPH   = (bekannte PH)           - (aus S[i] und S[j] berechnete hypothetische Polhöhe)

dPA   = (bekannte PA)           - (aus S[i] und S[j] berechnete hypothetischer Azimut)

dSz   = (bekannte Sternzeit)    - (aus S[i] und S[j] berechnete hypothetische Sternzeit)

gDist, gPH, gPA, gSz = geschätzte Genauigkeit für die gemessenen Größen Distanz, Polhöhe und -Azimut und Sternzeit

 

Beispiele für Schätzungen: 

Die Winkeldifferenz zwischen 2 Sternen kann sicherlich auf 0.1° (=1/5 Vollmonddurchmesser) bestimmt werden, allerdings ergibt sich eine Unsicherheit, da sich die Sterne zwischen den Messungen weiterbewegen. Somit kann gDist=0.5° angenommen werden.

Eine Polausrichtung mit dem Kompass ist recht ungenau (+/- 5°), also wird gPA=5° angenommen. 

Mit einem simplen Geodreieck und einem Gewicht an einem Faden kann auf 1° genau gemessen werden also wird gPH=1°

Die lokale Sternzeit hängt vom Standort innerhalb einer Zeitzone ab, zudem geht eine nicht genau waagrechte Aufstellung der Montierung in den errechneten Wert ein; dSz kann so auf etwa 0.5h geschätzt werden. 

Mathematisch gesehen handelt es sich die Gauß'sche Methode der kleinsten Fehlerquadrate, gleichbedeutend mit einen 'Hyper-Radius' in einem n-dimensionalen 'Hyperraum', dessen Länge mit einer allgemeinen Phytagoras-Beziehung bestimmt wird. Das Referenzpaar mit der kleinsten Radius-Länge ist die beste Wahl. Da nur die Größenreihenfolge wichtig ist, braucht die Wurzel (sqrt) hier nicht berechnet zu werden.

 

Ist eine Größe X (z.B. X=Sternzeit) gänzlich unbekannt, ist deren gX = unendlich, was nichts anderes heißt, als dass der entsprechende Term in der Q-Funktion einfach entfällt. Ebenso könnten weitere Terme hinzugefügt werden, die einfach zu messen und geeignet sind, eine Identifikation zu verbessern.

 

Q(i,j) wird für alle Referenzsternkombinationen S[i], S[j] bestimmt, das Referenz-Paar mit dem kleinsten Q ist die wahrscheinlichste Lösung.

Um den Rechenaufwand klein zu halten (bei n=40 Sternen in der Liste gibt es n²-n=1560 Kombinationen!), wird sinnvollerweise bei der Iteration eine Vorauswahl vorgenommen und z.B. Kombinationen mit stark abweichender Winkeldistanz nicht mehr weiter ausgewertet.

Steht beim Alignment eine Anzeigemöglichkeit zur Verfügung, können die Namen der beiden identifizierten Sterne angezeigt werden und vom Benutzer bestätigt werden (dazu muss er sie natürlich kennen!), alternativ kann der zweit-, dritt-,...usw beste Lösungsvorschlag (der mit dem zweit-, dritt-,...usw niedrigsten Q) zur Auswahl angeboten werden. 

 

Beispiel 

Hier ein Beispiel mit 40 Referenzsternen:

Const StarName Mag RA° DE° ProperName Const StarName Mag RA° DE° ProperName
CMa 9alp CMa -1.44 101.287 -16.716 Sirius Leo 32alp Leo 1.41 152.093 11.967 Regulus
Car alp Car -0.63 95.988 -52.696 Canopus Gem 66alp Gem 1.58 113.649 31.888 Castor
Cen alp1Cen -0.01 219.902 -60.834 Rigel Kentaurus UMa 77eps UMa 1.76 193.507 55.96 Alioth
Lyr 3alp Lyr 0.03 279.235 38.784 Vega Per 33alp Per 1.81 51.081 49.861 Mirphak
Aur 13alp Aur 0.08 79.172 45.998 Capella UMa 85eta UMa 1.86 206.885 49.313 Alkaid
Boo 16alp Boo 0.16 213.915 19.182 Arcturus Pav alp Pav 1.92 306.412 -56.735 Peacock
Ori 19bet Ori 0.28 78.634 -8.202 Rigel Hya 30alp Hya 1.99 141.897 -8.659 Alphard
CMi 10alp CMi 0.4 114.825 5.225 Procyon UMi 1alp UMi 2 37.955 89.264 Polaris
Eri alp Eri 0.54 24.429 -57.237 Achernar Ari 13alp Ari 2.02 31.793 23.462 Hamal
Ori 58alp Ori 0.57 88.793 7.407 Betelgeuse Cet 16bet Cet 2.05 10.897 -17.987 Diphda
Cen bet Cen 0.64 210.956 -60.373 Agena,Hadar And 21alp And 2.06 2.097 29.09 Alpheratz
Aql 53alp Aql 0.93 297.696 8.868 Altair And 43bet And 2.08 17.433 35.621 Mirach
Tau 87alp Tau 0.99 68.98 16.509 Aldebaran Oph 55alp Oph 2.09 263.734 12.56 Rasalhague
Vir 67alp Vir 1.06 201.298 -11.161 Spica Leo 94bet Leo 2.13 177.265 14.572 Denebola
Sco 21alp Sco 1.07 247.352 -26.432 Antares And 57gam1And 2.17 30.975 42.33 Almaak
Gem 78bet Gem 1.22 116.329 28.026 Pollux Cas 27gam Cas 2.18 14.177 60.717 Navi
PsA 24alp PsA 1.23 344.413 -29.622 Fomalhaut Vel lam Vel 2.21 136.999 -43.433 Alsuhail
Cru alp1Cru 1.28 186.65 -63.099 Acrux CrB 5alp CrB 2.22 233.672 26.715 Alphekka
Cru bet Cru 1.31 191.93 -59.689 Mimosa, Becrux UMa 48bet UMa 2.35 165.46 56.382 Merak
Cyg 50alp Cyg 1.33 310.358 45.28 Deneb Peg 54alp Peg 2.49 346.19 15.205 Markab

 

Die folgende Tabelle listet einige Werte für Referenzpaare (Ref1,Ref2), die ähnliche Winkeldaten wie andere Paare (S1, S2) haben und mit diesen verwechselt werden könnten. Aufgelistet ist die Distanz (berücksichtigt sind nur Referenzsterne mit Abstand 60°...120°), deren Änderung je Minute, und die Abweichungen der beiden Paare in den oben genannten Termen. Der Wert QS gibt den Q-Wert des zweiten Paares (S1, S2) an für den Fall, dass die Messung der Winkel exakt wäre. Um ein Referenzpaar sicher zu identifizieren, muss die Messunsicherheit (=Q)  deutlich kleiner sein als die kleinste mögliche Abweichung QS eines beliebigen anderen Paares.

Hier nicht für die Q-Berechnung verwendet wurde der Stundenwinkel (Sternzeit), somit sind die dSz-Werte recht groß.

 

Dist ° °/min dDist ° dPH ° dPA ° dSz ° QS Ref1 Ref2 S1 S2
91.9 0.118 0.06 0.72 5.5 38.2 1.167 Rigel Kentaurus Altair Mimosa Rasalhague
91.9 0.117 0.06 1.63 -5 -37.8 1.297 Mimosa Rasalhague Rigel Kentaurus Altair
79.7 0.064 0.01 2.64 1.4 -24.4 1.348 Acrux Regulus Agena,Hadar Denebola
79.7 0.068 0.01 -2.77 0.5 25.8 1.388 Agena,Hadar Denebola Acrux Regulus
79 0.234 0.58 0.56 -3.9 79.1 1.431 Aldebaran Markab Markab Rasalhague
118 0.035 0.68 -0.94 -0.7 -28.1 1.445 Mimosa Merak Rigel Kentaurus Alioth
118.6 0.035 0.68 1.06 0.1 27.8 1.459 Rigel Kentaurus Alioth Mimosa Merak
62.7 0.017 0.38 -1.68 -4.7 167.3 1.471 Achernar Mimosa Agena,Hadar Achernar
62.3 0.008 0.38 -1.87 -4.3 -174.2 1.477 Achernar Agena,Hadar Mimosa Achernar
72.3 0.101 0.56 0.03 5.3 102.1 1.535 Fomalhaut Mirach Antares Vega
79.6 0.237 0.58 -2.53 -0.4 -82.9 1.717 Rasalhague Markab Markab Aldebaran
79.1 0.083 0.61 -2.38 1.2 -164.7 1.724 Achernar Markab Mimosa Regulus
79.7 0.068 0.6 -1.53 -5.3 -174 1.77 Agena,Hadar Denebola Achernar Markab
79.1 0.083 0.6 -1.5 -5.7 165.5 1.811 Achernar Markab Agena,Hadar Denebola
117.1 0.023 0.8 0.4 4.3 27 1.835 Agena,Hadar Alioth Mimosa Merak
71.7 0.097 0.56 2.86 1.4 -97.1 1.837 Vega Antares Mirach Fomalhaut
81.2 0.169 0.3 3.41 2.5 134.3 1.872 Capella Markab Deneb Arcturus
118 0.035 0.8 0.93 -4.3 -27.1 1.888 Mimosa Merak Agena,Hadar Alioth
78.5 0.081 0.68 -2.51 2.5 -110.2 1.921 Mimosa Regulus Peacock Rasalhague
80.9 0.167 0.3 3.6 -2 -133.9 1.934 Arcturus Deneb Markab Capella
119.9 0.121 0.63 -2.78 -2.9 163.1 1.963 Achernar Regulus Rigel Kentaurus Markab
106.9 0.15 0.23 2.21 7.9 91.1 1.976 Rasalhague Almaak Denebola Deneb
78.5 0.081 0.61 -3.1 0 165.7 1.977 Mimosa Regulus Achernar Markab
109.3 0.041 0.34 -2.87 5.9 -156.5 1.979 Achernar Mirphak Mimosa Alkaid
62.4 0.244 0.4 3.05 5.6 -21.9 2.052 Betelgeuse Regulus Procyon Denebola

Die vollständige Tabelle wäre etwas umfangreicher: bei 40 Referenzsternen gibt es 1560 Paarkombinationen und 2432040 Möglichkeiten, ein Paar mit einem anderen zu verwechseln. Deshalb sind nur die ersten paar kritischsten Fälle, d.h die mit dem kleinsten QS, aufgelistet.

 

 

 

Kontakt

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Dr. Karl-Heinz Schweikert, Stuttgart

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