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Karl-Heinz Schweikert   

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Stand: 14. Mai 2009

 

Parallaktisches Alignment 

Falls keine Bildfelddrehung erwünscht oder tolerierbar ist, muss das Teleskop exakt parallaktisch aufgestellt werden. 

Beim parallaktischen Alignment wird die Rektaszensionsachse (auch Stundenachse genannt) exakt auf den Himmelspol ausgerichtet (Manche Quellen empfehlen einen kleinen Offset, um die atmosphärische Refraktion für bestimme Himmelsbereiche zu kompensieren. Das wird hier nicht weiter berücksichtigt). 

Hierzu kann die gesamte Montierung um eine üblicherweise unskalierte senkrechte Azimut-Achse  und um eine Polhöhenachse, meist mit grober Breitengradskala, gedreht werden. Ein irgendwie berechneter Verstellwinkel um diese Achsen kann aber gar nicht oder nur sehr ungenau abgelesen werden, im Gegensatz zu Std- und Dec-Achsen, bei denen eine hohe Einstellgenauigkeit gegeben ist durch elektronische Teilkreise, eine Goto-Steuerung mit Schrittmotoren oder mechanische Teilkreise mit Nonien. 

Ausgehend von einem im Okular zentrierten Referenzobjekt werden nun die genau bestimmbaren Std- und Dec-Positionen dazu verwendet, das Teleskop definiert so zu verfahren, dass nach erneutem Zentrieren des Objekts um Azimut- und Polhöhenachse die Montierung exakt ausgerichtet ist.

 

Das originale Scheinerverfahren erlaubt durch Vermessung von Referenzobjekten in definierten Richtungen (genau in N,S,O oder W) quantitative Korrekturwerte zu ermitteln, die je nach Vorgehensweise direkt oder iterativ zur korrekten Ausrichtung führen. 

 

Das hier vorstellte verallgemeinerte Verfahren besitzt folgende Eigenschaften:

Im Folgenden wird die Berechnung der Std/Dec-Winkel beschrieben, um die das Teleskop zum Anfahren der Align-Referenzposition bewegt werden muss. Die Berechnungen sind erheblich komplexer als beim klassischen Scheinern, werden heute aber bequem von 'kleinen schwarzen Kästchen' nebenbei erledigt.

Für die Berechnungen muss der Winkel zwischen Std- und Azimutachse bekannt sein (bei exakt waagrechter Aufstellung ist das 90°-Breitengrad) und die Nullpunkte der Std- und Dec-Achsen müssen kalibriert sein. Dies ermöglicht als Nebeneffekt auch die korrekte Berücksichtigung der atmosphärischen Refraktion (ist in der nachfolgenden Herleitung nicht enthalten, kann aber leicht ergänzt werden). 

Die Kalibrierung wird durch eine vorangehende spezielle Prozedur erreicht, die je nach Montierung jedesmal oder nur gelegentlich durchgeführt werden muss, falls z.B. absolute Teilkreise, anfahrbare Indexmarken, Endschalter, eine reproduzierbare Parkposition oder ähnliche Möglichkeiten vorgesehen sind, um die Skaleneinstellungen über längere Zeit zu erhalten. 

 

Die erforderliche Kalibrierung kann an einem fixen, möglichst weit entfernten Kalibrierobjekt (Turmspitze, Strommast, Polarstern,...) durchgeführt werden und erfordert insgesamt 4 Messungen der Std- und Dec Achsenwerte (r, d) für verschiedene Montierungsstellungen, die hier am Beispiel einer Deutschen Montierung beschrieben werden:

Als Ausgangsposition zeigt die Std-Achse vorzugsweise etwa in Richtung des Kalibrierobjekts. Der Nullpunkt von Std- und Dec-Skala ist unbekannt. Bei Verwendung der Motorkoordinaten sollte das Getriebespiel berücksichtigt werden, z.B. indem alle Positionen immer in der selben Richtung angefahren werden oder die Steuerung mit einen elektronischen Getriebespielausgleich (Backlash-Compensation) ausgestattet ist.

 

Schritt 1: Verdrehen der Azimutachse um ca. 45°...90°, zentrieren des Objekts mit Hilfe der Std- und Dec-Achse -> Messwerte (r1, d1)

Schritt 2: Verdrehen der Azimutachse wieder etwa auf Ausgangsposition, zentrieren mit Std- und Dec-Achse -> Messwerte (r2, d2)

Schritt 3: Umschlagen des Telekops ohne Verstellung der Azimutposition, zentrieren mit Std- und Dec-Achse -> Messwerte (r2', d2')

Schritt 4: Verdrehen der Azimutachse auf ca. 30°...90° in die andere Richtung, zentrieren mit Std- und Dec-Achse -> Messwerte (r3, d3)

 

 

Herleitung der benötigten Formeln

 

Achsenkalibrierung:

Für 4 Azimutstellungen werden die Std/Dec Winkel (r, d)  wie oben beschrieben gemessen, und zwar als Vollwinkel, d.h. im Bereich 0...360° oder -180°...+180°.

Aus den beiden mittleren Messungen (Schritt 2+3) ergibt sich der Dec-Nullpunkt d0, damit werden alle zukünftig gemessenen Dec-Werte korrigiert:

 

 d0 = (d2+d2')/2

 

Abb.: Achsenkalibrierung

 

Falls die Montierungsachsen bereits kalibriert sein sollten, kann in den folgenden Rechnungen d0=0 gesetzt werden. Die restlichen Größen ergeben sich aus den Messungen für die 3 Azimutpositionen aus Schritt 1, 2 und 4.

Die Darstellung der 3 Messpunkte in kartesischen Koordinaten lautet

 

 K1 = [x1,y1,z1] = [sin(d1-d0)*cos(r1), sin(d1-d0)*sin(r1), cos(d1-d0)]
 K2 = [x2,y2,z2] = [sin(d2-d0)*cos(r2), sin(d2-d0)*sin(r2), cos(d2-d0)]
 K3 = [x3,y3,z3] = [sin(d3-d0)*cos(r3), sin(d3-d0)*sin(r3), cos(d2-d0)]

 

Die Azimutrichtung (Pseudo-Zenit = wahrer Himmels-Zenit bei waagrechter Aufstellung) steht senkrecht auf den Differenzvektoren der beiden äußeren Punkte zum mittleren Punkt. Diese Richtung ist durch deren Vektorprodukt gegeben, der Azimutpunkt Z auf der Einheitskugel ergibt sich daraus durch Normierung auf Länge 1.

 

 K4 = [x4, y4, z4] = (K2-K1)x(K3-K2)
   wobei x4 = (y2-y1)*(z3-z2) - (y3-y2)*(z2-z1),
         y4 = (z2-z1)*(x3-x2) - (z3-z2)*(x2-x1),
         z4 = (x2-x1)*(y3-y2) - (x3-x2)*(y2-y1)

 Z = K4/|K4|    mit |K4|=Sqrt(x4^2 + y4^2 + z4^2)

 

Die Null-Abweichung der Std-Achse wird später bei der Berechnung der Align-Referenzposition berücksichtigt (durch Drehung 1). Natürlich kann der Korrekturwert auch gleich hier bei der Kalibrierung bestimmt werden, es ist einfach der dort für die erste Drehung bestimmte Winkel phi1. 

 

 

Ermittlung der Align-Referenzposition:

Folgende Schritte werden hierzu durchgeführt:

  1. Bestimme über 2-Star Alignment die Abweichung der Stundenachse zum wahren Himmelspol. 

  2. Transformiere diese Abweichung in Winkelwerte der Azimut und Polhöhenachse

  3. Korrigiere die Abweichung  mit der Azimut und Polhöhenachse (zunächst nur theoretisch, denn praktisch geht's nicht wegen fehlender Messmöglichkeit an diesen Achsen). Verfolge dabei die Mitbewegung des Referenzsterns.

  4. Transformiere die Positionen wieder zurück ins parallaktische System.

  5. Mache dort die ermittelte Referenzsternbewegung tatsächlich durch Bewegung um Stunden- und Dec-Achse rückgängig. 
    Damit läuft der Stern aus dem Bildfeldzentrum.

  6. Führe jetzt die oben nur theoretisch gemachten Drehungen mit Azimut und Polhöhenachse tatsächlich aus. 
    Damit ist der Referenzstern wieder zentriert (das ist das Mess-Kriterium!)  und die Stundenachse zeigt exakt auf den Pol. 
    Das gilt auch für beliebig große Anfangsabweichungen.

 

Messungen

Gemessen werden die 2 Positionen (r,d) von Referenzobjekten S1_ und S2_ und deren Messzeitpunkte t1 und t2 (Sternzeit), bekannt sind die Himmelskoordinaten, d.h. Stundenwinkel t-RA und Deklination Dec:

 

S1_ = (t1-RA1, Dec1) und (r1, d1-d0) 
S2_ = (t1-RA2, Dec2) und (r2, d2-d0) 

 

Bestimmung des Pols P_ im Montierungs-Koordinatensystem

Daraus lässt sich die Position des Pols im noch unausgerichteten Teleskop-Koordinatensystem bestimmen. Die Vorgehensweise ist die gleiche wie beim 2-Star-Alignment. Ausgangspunkt sind die Positionen von Pol und Referenzstern(en) in Himmelskoordinaten:

 

Pol          = [ 0, 0, 1]
Stern 1: S1_ = [u1,v1,w1] = [sin(90°-Dec1)*cos(t1-RA1), sin(90°-Dec1)*sin(t1-RA1), cos(90°-Dec1)]
Stern 2: S2_ = [u2,v2,w2] = [sin(90°-Dec2)*cos(t2-RA2), sin(90°-Dec2)*sin(t2-RA2), cos(90°-Dec2)]

 

Eine dritte unabhängige Richtung S3_ erhalten wir wieder durch das Vektorprodukt der Sternkoordinaten S1_ und S2_.

 

S3_ = [u3,v3,w3] = S1_ x S2_ = [v1*w2-w1*v2, w1*u2-u1*w2, u1*v2-v1*u2]
 

Der Pol in parallaktischen Koordinaten [0,0,1] wird mit Hilfe der 3 den Raum aufspannenden Vektoren S1_, S2_ und S3_ und den noch zu bestimmenden Koeffizienten m1, m2, m3 ausgedrückt:

 

P_ = [0,0,1] = m1*S1_ + m2*S2_ + m3*S3_

 

Durch Auflösen dieses Gleichungssystems folgt:

 

m1 = (u2*v3-v2*u3)/(u3^2+v3^2+w3^2)
m2 = (v1*u3-u1*v3)/(u3^2+v3^2+w3^2)
m3 = (u1*v2-v1*u2)/(u3^2+v3^2+w3^2) = w3/(u3^2+v3^2+w3^2)

 

Genau die gleichen Koeffizienten m1, m2, m3 gelten auch im Montierungs-Koordinatensystem für die Größen

 

S1_ = [x1,y1,z1] = [sin(d1-d0)*cos(r1), sin(d1-d0)*sin(r1), cos(d1-d0)]
S2_ = [x2,y2,z2] = [sin(d2-d0)*cos(r2), sin(d2-d0)*sin(r2), cos(d2-d0)]
S3_ = [x3,y3,z3] = S1_ x S2_ = [y1*z2-z1*y2, z1*x2-x1*z2, x1*y2-y1*x2]

 

damit sind die im Montierungssystem ausgedrückten Koordinaten des Pols 

 

P_ = m1*S1_ + m2*S2_ + m3*S3_ = [m1*x1+m2*x2+m3*x3, m1*y1+m2*y2+m3*y3, m1*z1+m2*z2+m3*z3]

 

 

Berechnung der Align-Referenzposition:

Jetzt sind diese Größen bekannt (Koordinaten im Montierungssystem):

S_ = die Position des Referenzobjekts (die z.B. die Position des Sterns S2_ der letzten Messung sein kann)

V_ = die Visierlinie des Teleskops (der Punkt, auf den das Teleskop zeigt. Ist identisch mit S_, solange S_ im Fadenkreuz ist)

Z_ = die Zenitposition, bestimmt mit der oben beschriebenen Achsenkalibrierung 

P_ = die oben bestimmten Koordinaten des Himmels- Pols

A_ = die Koordinaten der Stundenachse (die im Montierungs- System mit der z-Achse identisch ist)

 

Zur Bestimmung der Align-Position werden jetzt einige Drehungen um verschiedene Achsen durchgeführt, teilweise reine Koordinatentransformationen (alle Punkte drehen mit), teilweise auch Drehungen der Montierung um Azimut/Höhe oder des Teleskops um Std/Dec, wobei in diesen Fällen Zenit und Referenzobjekt fix bleiben. Die Koordinaten werden durch zusätzliche Drehungen um z so transformiert, dass nur Drehungen um die y-Achse des jeweils aktuellen Systems erforderlich sind. Dabei kann einem leicht schwindlig werden...

 

Abb: Drehungen der Punkte A=Stundenachse, P=Pol, S=Referenzstern, V=Visierlinie, Z=Zenit. Man stelle sich die Skizzen als Halbkugeln vor, auf die man von oben in Richtung der z-Achse schaut. Schwarz gezeichnet sind die winkelbestimmenden Drehungen, die anderen Punkte drehen aber ebenfalls mit (außer bei Drehungen der Montierung 4+5 oder des Teleskops 8+9, wo einige Punkte fix bleiben)

 

Hier die Beschreibung der Drehungen im Einzelnen:

  1.) Koordinatensystem um z-Achse ( Stundenachse A), bis die Projektion des Zenits Z auf der x-Achse liegt (entfällt bei bereits kalibrierten Achsen)

  2.) Koordinatensystem um y-Achse, bis der Zenit auf der z-Achse liegt

  3.) Koordinatensystem um z-Achse (jetzt Zenit Z), bis die Projektion des Pols auf der x-Achse liegt

 

  4.) Montierung um z-Achse (Zenit Z, bis die Projektion der Stundenachse A auf der x-Achse liegt. 

  5.) Montierung um y-Achse, bis die Stundenachse A genau auf den Pol zeigt. Bei diesen Bewegungen dreht A und V mit, nicht aber S und P.

Damit wäre die Ausrichtung eigentlich abgeschlossen, aber praktisch ist unbekannt, wie weit die Montierung hätte gedreht werden müssen. Deshalb verfahren wir jetzt noch das Teleskop um Std/Dec-Achse, bis der Stern wieder im Fadenkreuz ist.

 

  6.) Koordinatensystem um y-Achse, bis Pol P (der jetzt mit Stundenachse A zusammenfällt) auf der z-Achse liegt

  7.) Koordinatensystem um z-Achse (Stundenachse), bis Projektion des Referenzsterns S auf der x-Achse liegt

 

  8.) Teleskop um z-Achse, bis Projektion der Visierlinie V auf der x-Achse liegt (S bleibt dabei fest)

  9.) Teleskop um y-Achse, bis Visierlinie V auf den Referenzstern S zeigt (d.h. das Objekt im Fadenkreuz zentriert ist)

 

In der praktischen Durchführung wird das Teleskop erst ein mal um die in Schritt 8+9 ermittelten Winkel verstellt und dann die Drehung der Montierung (Schritt 4+5) ausgeführt, bis der Referenzstern wieder im Fadenkreuz ist. Diese Vertauschbarkeit der Drehungen ist nicht selbstverständlich, hier aber möglich, da es sich um Drehungen um separate Achsen handelt (Std/Dec und Azimut/Höhe).

 

Es macht keinen Sinn, die einzelnen Schritte in einer Riesenformel zusammenzufassen, da einerseits Zwischenresultate zur Bestimmung des nächsten Drehwinkels dienen, andererseits es hier  nur 2 Typen von Drehungen gibt (um y und um z), die als Unterprogramme wiederverwendet werden können. Deshalb gebe ich hier auch nur Pseudocode für diese beiden Drehungen an.

 

Bestimmung des Drehwinkels um y aus dem winkelbestimmenden Koordinatenpunkt K (mit K=A, P, S, V, Z)

 double AngleY (vector K) { 
   return acos (K.z);
 }

 

Bestimmung des Drehwinkels um z aus dem winkelbestimmenden Koordinatenpunkt K (mit K=A, P, S, V, Z)

 double AngleZ (vector K)
   return -atan (K.y, K.x);
 }

 

Drehung des Koordinatenpunkts K (= alle nicht fixen A,P,S,V,Z je Schritt) um aktuelle y-Achse:

 void RotY (vector K, double phi)
   vector V;
   V.x = K.x*cos(phi) - K.z*sin(phi);
   V.y = K.y;
   V.z = K.z*cos(phi) + K.x*sin(phi);
   K=V;
 }

 

Drehung des Koordinatenpunkts K (= alle nicht fixen A,P,S,V,Z je Schritt) um aktuelle z-Achse:

 void RotZ (vector K, double phi)
   vector V;
   V.x = K.x*cos(phi) - K.y*sin(phi)
   V.y = K.y*cos(phi) + K.x*sin(phi)
   V.z = K.z
   K=V;
 }

 

Anmerkung: Der Datentyp "vector" kann z.B. als Struktur oder Array programmiert werden. Er muss 'by reference' übergeben werden, damit sich die Drehung in der aufrufenden Routine auch auswirkt

 

Und hier noch mal alle Transformationen als Code. Zum Schluss wird das Teleskop um die ermittelten Winkel von der gerade aktuellen (Std, Dec) - Position aus  bewegt (angedeutet durch die Aufrufe "MoveStdBy()", "MoveDecBy()"...)

phi1 = AngleZ(Z); RotZ(P,phi1); RotZ(S,phi1); RotZ(Z,phi1);
phi2 = AngleY(Z); RotY(A,phi2); RotY(P,phi2); RotY(S,phi2);
phi3 = AngleZ(P); RotZ(A,phi3); RotZ(P,phi3); RotZ(S,phi3); V=S;

phi4 = AngleZ(A); RotZ(V,phi4); RotZ(A,phi4);
phi5 = AngleY(P)-AngleY(A);     RotY(V,phi5); DeltaH=phi5;

phi6 = AngleY(P); RotY(S,phi6); RotY(V,phi6);
phi7 = AngleZ(S); RotZ(S,phi7); RotZ(V,phi7);

phi8 = AngleZ(V); RotZ(V,phi8); MoveStdBy(phi8);  
phi9 = AngleY(S)-AngleY(V);     MoveDecBy(phi9); 

 

Während der gesamten Prozedur sollte die automatische Nachführung der Std-Achse normal weiterlaufen (Tracking). Auch bei längerem Zeitbedarf für die Berechnungen, die Std/Dec Bewegung und die Azimut/Höheneinstellung wird ein korrektes Alignment erzielt, wenn bei MoveStd und MoveDec die berechneten Winkel phi zu den gerade aktuellen Positionswerten des Teleskops vorzeichenrichtig addiert werden.

DeltaH ist die Änderung des Winkels zwischen Polhöhenachse und Stundenachse, um den der bei der Kalibrierung ermittelte Winkel korrigiert werden kann und - falls irgendwie abgespeichert - bei der nächsten Aufstellung ohne Neukalibrierung verwendet werden kann.

 

 

Kontakt

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Dr. Karl-Heinz Schweikert, Stuttgart

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